二下期末複習專區

解題詳解
(A) 120°, 60°, 120°。平行四邊形對角相等→對角=60°；鄰角互補→兩鄰角各=180°−60°=120°。四角為60°,120°,60°,120°，故其他三角為120°,60°,120°，即選項(A)。

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(A) 同位角相等

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(D) 3、3、2 — 三角不等式：兩短邊和須嚴格大於最長邊。A:5+2=7<8✗；B:5+6=11=11✗；C:1+5=6<8✗；D:3+2=5>3 且 3+3=6>2 ✓，唯一可成三角形。

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(D)。菱形的對角線必須「互相垂直」且「互相平分」。(A)(B) 兩對角線斜交、不垂直 → 不是菱形；(C) 兩線雖垂直，但鉛直那條被交點切成上短下長、沒有被平分 → 是鳶形；(D) 兩線垂直且兩條都互相平分 → 才可能是菱形。故選 (D)。

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(D) 對角線互相垂直 — 此敘述錯誤（垂直是菱形的性質，一般平行四邊形不成立）。對邊等長(A)、對角相等(B)、對角線互相平分(C)皆正確。

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(A) 平行四邊形。把兩個全等的梯形，其中一個繞「一條腰的中點」旋轉 180° 後沿該腰拼接：原本的上底 a 與下底 b 首尾相接，形成一組「平行且等長」的對邊，兩腰也成另一組平行等長對邊 → 一定是平行四邊形（矩形、菱形只是特例，拼後已非梯形）。

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(A) ∠A>45°。由大邊對大角，BC>AB>AC ⇒ ∠A>∠C>∠B，∠A 為最大角；銳角三角形且三邊不等，最大角必 >60°>45°，故 (A) 一定正確。(B) ∠C>60° 不一定（反例 78/56/46）；(C) ∠B>45° 不一定（反例 80/70/30）；(D) 因 B、C 不成立而錯誤。

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(D) ∠C > 45° > ∠A。理由：∠B=90° 為直角，AC 為斜邊（最長）；∠A+∠C=90°（兩銳角互餘）。大邊對大角：AB=15 對 ∠C、BC=14 對 ∠A，因 AB(15)>BC(14) 故 ∠C>∠A；配合互餘得 ∠C>45°>∠A。數值驗證 tan∠A=14/15→∠A≈43.0°、∠C≈47.0°，吻合。

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(B) 4 個。AB=12、AC=5，三角形不等式給 7<BC<17；AB 須為最長邊故 BC<12；合併 7<BC<12，整數 BC=8,9,10,11 共 4 個。

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(D) 周長 = 104。平行四邊形對邊相等：AB=CD → 3x+1=4y+3 → 3x−4y=2；AD=BC → 4x−19=3y → 4x−3y=19。聯立解得 x=10、y=7。各邊長 AB=CD=31、AD=BC=21，周長=2(31+21)=104。

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面積 = ½ × 10 × 24 = 120 平方公分，答案 (B) 120

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周長 = 4×13 = 52 公分，答案 (C)。菱形對角線互相垂直平分，半對角線 5 與 12，邊長 = √(5²+12²)=√169=13，周長 = 4×13 = 52。

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(C) 甲、丙、丁（正方形、菱形、箏形的對角線互相垂直；長方形與等腰梯形只相等不垂直）

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GH = 8（答案 B）

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(C) ∠A ＞ ∠C。E 在 AC 中垂線上故 EA=EC，△EAC 等腰 ⇒ ∠EAC=∠C；E 嚴格落在 BC 之間，AE 把 ∠A 切成 ∠BAE+∠EAC，∠BAE＞0，故 ∠A=∠C+∠BAE＞∠C。窮舉座標掃描確認：只要 E 嚴格在 BC 段內，恆有 ∠A＞∠C，無例外。

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∠1 = 65°，答案 (D)。解法：△QBR 外角 = ∠Q+∠R = 20°+15° = 35°（折線 PBQ 與 M 的夾角）；過 P 作 N∥L∥M，∠1 上半（與 L 內錯）=30°、下半（與 M 內錯）=35°，∠1=30°+35°=65°。以方向向量獨立計算得 64.97°≈65°，並與 SVG 座標完全一致。

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(B)。在 M 上：∠PQR = 180°−∠3 = 180°−100° = 80°，∠PRQ = 180°−∠4 = 180°−110° = 70°；△PQR 內角和 → ∠2 = 180°−80°−70° = 30°。又 L∥M 被截線所截，∠1 與 ∠4 為同側內角互補 → ∠1 = 180°−110° = 70°。故 ∠1−∠2 = 70°−30° = 40°，選 (B)。

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(C) 30°。沿 EF 對折＝以 EF 為軸鏡射，摺前摺後的對應角相等。設摺線與上邊夾角＝∠1=75°，鏡射後另一側也是 75°，而 E 所在的上邊是一直線 180°，三角拼成 75°+∠2+75°=180° → ∠2 = 180°−2×75° = 30°。

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72√3（選項 D）。∠C=60°→平行四邊形鄰角互補得 ∠B=∠D=120°；BD 平分得 ∠DBC=∠BDC=60°，故 △BCD 三角皆 60° 為正三角形，邊長 = BD = 12。面積 = BC×CD×sin60° = 12×12×(√3/2) = 72√3。

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(C)。圖(七)中 M 由左上往右下截過 L₁(上)、L₂(下)，兩交點編號皆為左上/右上/左下/右下=1,2,3,4 與 5,6,7,8；內角={3,4,5,6}、外角={1,2,7,8}。逐項：(A)∠3(上左下)與∠7(下左下)位置相同→同位角，正確；(B)∠4、∠5皆內角且分居 M 兩側→內錯角，正確；(D)∠2、∠3同在上交點正對→對頂角，正確；(C)∠2 在上交點右上、屬「外角」，不是內角，故∠2與∠6不可能是同側內角(∠6 真正的同側內角夥伴是∠4)→此敘述錯誤。所以答案為 (C)。

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(B) 內錯角相等。過線外一點 P 作已知直線 L 的平行線：先過 P 畫一條截線交 L 於 Q，再用圓規在 Q 與 P 以「相同半徑」畫弧，複製出一個和原角相等、且位在截線另一側、夾在兩線之間的角（即內錯角）。因為「內錯角相等 ⇒ 兩直線平行」，所以作出的線與 L 平行。

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(A) 160。周長 70 → AB+BC = 35 → AB = CD = 10（BC=25）。O 是兩對角線交點＝平行四邊形中心，OE⊥CD 且 OE=8，所以 CD 與對邊 AB 之間的距離（高）＝2×8 = 16。面積 = 底×高 = CD×16 = 10×16 = 160。

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(A) AC = AB > CD。理由：∠BAD=90°−60°=30°；△ADC 中 ∠C=180°−60°−75°=45°；∠ADB=180°−75°=105°，△ABD 中 ∠B=180°−30°−105°=45°；∠B=∠C=45° 故 AB=AC；△ADC 中 AC 對 75°、CD 對 60°，75°>60° 故 AC>CD；得 AC=AB>CD。

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(D) 49°。五邊形內角和=(5−2)×180°=540°；BC∥DE，CD為截線，∠C與∠D為同側內角互補⇒∠C+∠D=180°；故∠A=540−134−130−180=96°；對角線AC、AD把∠A分成∠BAC+∠CAD+∠DAE=96°，∠CAD=47°⇒∠BAC+∠DAE=96−47=49°。

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∠AGF = 133°，答案 (C)。解法：平行四邊形 ABCD 中 AD∥BC，直線 EAB 為截線，故 ∠EAG=∠B=58°（同位角）。三角形 AEG 中 ∠E=75°、∠EAG=58°，∠AGF 為 G 點外角 = 75°+58° = 133°。驗算：內角 ∠AGE=180-75-58=47°，∠AGF=180-47=133°。陷阱選項 (D)47° 為內角 ∠AGE。

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∠BPC = 132°，選 (B)。獨立解法：P為平行四邊形ABCD內部一點，繞P一圈四角和為360°。△DPC因DP=DC為等腰，頂角∠CDP=32°，故∠DPC=(180−32)/2=74°。又DC=DP且平行四邊形對邊AB=DC，得DP=AB；配合∠APD=92°、∠ABP=58°，由整個構形確定可得∠PAB=60°，於是△ABP中∠APB=180−60−58=62°。最後∠BPC=360−∠APD−∠DPC−∠APB=360−92−74−62=132°。已用座標數值法(fsolve)獨立求得完整構形，反算得∠DPC=74°、∠APB=62°、∠PAB=60°、∠BPC=132°，且三個已知角(32/92/58)、DP=DC=AB、P在內部全部吻合。

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∠DGF = 135°，選 (A)。推導：平行四邊形對角相等 ⇒ ∠ADC=∠B=70°；G 在線段 ED 上 ⇒ ∠GDC=∠EDC=45°；FG∥AB 且 AB∥DC ⇒ FG∥DC，以 DG 為截線，∠DGF 與 ∠GDC 為同側內角（互補）⇒ ∠DGF=180°−45°=135°。座標模擬驗證 ∠DGF≈134.99°、∠DGF+∠GDC=180°，完全吻合。

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EF = 1.4，答案 (B)。解法：長方形 ABCD，AB=6、BC=8，△ABC 直角在 B，斜邊 AC=√(6²+8²)=10；E 為對角線交點即 AC 中點，AE=5；F 為 B 到 AC 之垂足，由射影定理 AF=AB²/AC=36/10=3.6；F 在 A 與 E 之間，故 EF=AE−AF=5−3.6=1.4。

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(B) 20。等腰梯形 ABCD，AD∥BC、AB=CD，AD=8、BC=24、高=12。下底超出量 24−8=16，左右對稱各分 8。設 B=(0,0)、C=(24,0)、A=(8,12)、D=(16,12)。對角線 BD=√((16−0)²+(12−0)²)=√(256+144)=√400=20。

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(C) (8,4)。AB=7（A、B 同在 x=1）。∠C 為最大內角 ⇔ 對邊 AB 為最長邊 ⇔ AC<7 且 BC<7（C 在以 AB 為直徑的圓內）。(A)(2,5):AC≈4.12,BC≈3.16 皆<7→∠C≈147.5° 最大✓；(B)(4,6):AC≈5.83,BC≈3.61→∠C≈92.7° 最大✓；(D)(2,3):AC≈2.24,BC≈5.10→∠C≈142.1° 最大✓；(C)(8,4):AC≈7.62,BC≈8.06 皆>7（圓外）→∠C≈52.9° 反為最小角，不可能。故 C 點不可能為 (8,4)。

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(A) PB > PC > PD。正五邊形ABCDE邊長相等、內角108°；P使△PAB正三角形(PA=PB=AB,三角皆60°)。△PBC中∠PBC=108°−60°=48°，因PB=AB=BC為等腰，兩底角∠BPC=∠BCP=(180−48)/2=66°；PB對66°、PC對48°，大角對大邊得PB>PC。△PCD中∠PCD=42°、∠PDC=54°(頂角∠CPD=84°)，PC對54°、PD對42°得PC>PD。以PC橋接：PB>PC>PD。數值驗證PB=1.000、PC≈0.813、PD≈0.673，確認(A)。

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(C) 15°。兩直線被截線 L 所截，一組同側內角 65° 與 100°，相加 165° ≠ 180° → 不互補 → 兩直線不平行、必相交（排除 D）。將兩線延長與截線構成三角形，交角 = |180° − (65° + 100°)| = 180° − 165° = 15°；亦可由三角形內角和驗證 180° − 65° − 100° = 15°。故選 (C) 15°。